A Geometria Analítica, sob a ótica dos espaços vetoriais, oferece um método de demonstração muitas vezes mais direto e elegante

A Geometria Analítica, sob a ótica dos espaços vetoriais, oferece um método de demonstração muitas vezes mais direto e elegante que a geometria sintética euclidiana. Ao associarmos pontos a vetores, posição e segmentos a vetores deslocamentos, transformamos relações de incidência, paralelismo e perpendicularidade em operações algébricas como soma, produto por escalar e produto escalar. Um dos pilares dessa abordagem é a combinação linear, "algebrização" permite que teoremas complexos sejam demonstrados através de identidades vetoriais, independentemente do sistema de coordenadas escolhido.

Por definição, em geometria euclidiana, um quadrilátero é um polígono de quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos, sendo a soma de seus ângulos internos sempre 360º, e possui duas diagonais. Existem tipos como trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados, classificados por propriedades como lados paralelos ou iguais e ângulos retos, podendo ser convexos ou côncavos. Por outro lado, um paralelogramo é um quadrilátero que possui dois pares de lados opostos paralelos e congruentes (iguais em medida), além de ângulos opostos também congruentes e diagonais que se cruzam no ponto médio, sendo tipos especiais como retângulo, losango e quadrado. 

Elaborado pelo professor, 2026.

Com base nessas informações e usando vetores, resolva os itens que seguem.

1. A) Prove que os pontos médios de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.

1. B) Prove que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.