Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado para facilitar o escoamento de sólidos.
Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar:
- O volume máximo de armazenamento do tanque.
- A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade.
Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas.
Fonte: a autora, 2026.
ETAPA 1. Volume do tanque
O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente.
O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação:
A base circular do tanque, vista no plano horizontal xy, possui raio interno de 2 m. Assim, os pontos da base satisfazem a condição:
Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece:
Esse valor corresponde ao nível máximo de operação do tanque.
Para maior entendimento, observe a Figura 1.
Figura 1 - Representação do tanque de armazenamento de efluentes.
Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026.
Tarefas
- a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver.
- b) Calcule o volume máximo do tanque.
ETAPA 2. Massa total do efluente
Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão:
onde:
- é a densidade em kg/m³
- z é a cota vertical em metros.
Tarefas
- a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver.
- b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.
