MAPA - MAT - CÁLCULO III - 53_2026
As equações diferenciais são ferramentas matemáticas fundamentais para modelar sistemas dinâmicos onde a taxa de variação de uma grandeza depende de seu próprio estado atual. Quando a equação envolve apenas a primeira derivada da função incógnita, como no cálculo de taxas de crescimento populacional ou no escoamento de fluidos, estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem. Já quando o modelo exige a análise da aceleração ou da concavidade de um sistema — incorporando a segunda derivada —, ela é classificada como de segunda ordem, sendo o pilar para descrever vibrações mecânicas, circuitos elétricos complexos e ondas.
Resolver essas equações permite prever o comportamento futuro de um fenômeno a partir de suas condições iniciais bem definidas. Com base nesses conceitos estruturais de modelagem, analise o problema a seguir.
Fonte: elaborado pelo professor, 2026.
À luz dos conhecimentos dos conteúdos abordados na disciplina de Cálculo III, resolva as três questões a seguir.
Questão 01
Em uma escola, o acompanhamento da quantidade de água armazenada em uma caixa-d’água pode ser descrito por um balanço entre a água que entra e a água que sai do reservatório. A equação diferencial a seguir representa essa variação do volume de água ao longo do tempo, considerando o abastecimento e o consumo diário da escola.
Nessa equação diferencial, a variação do volume de água no reservatório ao longo do tempo é igual ao volume de entrada menos o volume de saída, ambos expressos em litro/dia. Considerando o volume inicial do reservatório de 1.000 litros e a equação diferencial apresentada acima, calcule o tempo para o qual a quantidade de água armazenada nessa escola seja nula.
Questão 02
Equações diferenciais de segunda ordem, homogêneas e com coeficientes constantes são equações que envolvem a segunda derivada de uma função, igualadas a zero. Elas descrevem sistemas lineares, como vibrações físicas, onde a resposta depende de constantes e da própria função. As soluções dessas equações diferenciais são combinações lineares de duas funções base linearmente independentes, que por sua vez formam uma família que representa o comportamento do sistema, geralmente utilizando funções exponenciais, seno ou cosseno, dependendo das raízes da equação característica.
Fonte: elaborado pelo professor, 2026.
Com base nessas informações, escreva a solução geral da equação diferencial de segunda ordem, homogêneas e com coeficientes constantes em que a equação característica tem uma raiz complexa do tipo .
OBSERVAÇÃO: para maior facilidade na execução dessa atividade, a seguir, apresentamos mais detalhes sobre a sua realização:
- Leia com atenção as informações contidas aqui e procure outras informações sobre o assunto que agreguem à sua atividade.
- No material da disciplina encontra-se disponível um TEMPLATE para elaboração da atividade.
- Seu texto deve ser escrito na fonte Times New Roman ou Arial, com tamanho de letra 12. Não se esqueça de apresentar todos os cálculos realizados (apenas fotografia dos cálculos NÃO serão aceitas!).
- Realize uma cuidadosa revisão em sua atividade e anexe o arquivo nela, clicando sobre o botão “Selecionar Arquivo”.
- Após anexar o trabalho e se certificar de que se trata do arquivo correto, clique no botão responder e, posteriormente, em finalizar questionário (após finalizar o questionário, não será possível reenviar a atividade ou realizar qualquer modificação no arquivo enviado).
